# Resolvendo o sistema linear Au=v pelo método dos gradientes.

c=c(8, 1, 1, 0, 2, 20, 9, 2, 1, 1, 2, 1, 11,2, 0, 3, 2, 1, -8, 1, 2, 1, 2, 3, 10)
A=matrix(c,5,5,,byrow=TRUE); A   # Entrada da matriz A
v=c(1,2,3,4,5); v                # Entrada do vetor v

f<-function(u){A%*%u-v}          # Au=v quando f(u)=0.

g<-function(u){t(f(u))%*%f(u)/2}


B=t(A)%*%A; b=t(A)%*%v           # Adaptando o sistema para A*Au=A*v, ou Bu=b, em que B=A*A é positiva definida e b=A*v.

gradg<-function(u){B%*%u-b}

h=0.001                          # Tamanho do passo h, para calcular numéricamante u(20), em que u(0)=(1,1,1,1,1) e u'(t)=-Bu+b.
n=20/h
u=c(1,1,1,1,1)

for ( j in 1:n){
u=u-h*gradg(u)                   # Método de Euler
}
print(" Aproximação para u");u                                # Aproximação para u(20).
print(" Aproximação para f(u)") ;f(u)                         # Verificação do erro de aproximação.
print(" Número de iterações"); n