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# slide = ""
# while 1:
#     try:
#         slide += input()
#     except:
#         break
        
slide = r'''
<s>
    <cha>Fonction exponentielle</cha>
    <os>
        <o>Existence et unicité</o>
        <o>Propriétés algébriques</o>
        <o>Notation puissance</o>
        <o>Fonction exponentielle</o>
    </os>
</s>

<s>
    <par>1. Fonction exponentielle</par>
</s>

<s>
    <ti>1.1 Méthode d'Euler</ti>
    <t>
        Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f(0)=1$ et $f'(x)=f(x)$ pour tout réel $x$.<br>
        En observant, d'après la définition du <e>nombre dérivé</e>, que :
        $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)= f(x) $$
        Suppsosons pour simplifier que $h>0$, cela revient à considérer :
        $$f(x+h) -f(x) \approx f(x) \cdot h \Rightarrow f(x) \approx f(x) + f(x) \cdot h = f(x) \cdot(1+h)$$
        On obtient successivement (avec $x=0$ puis $x=h$) :
        $$f(h) \approx f(0) \cdot 1+h = 1 + h \qquad \qquad f(2h)=f(h+h) \approx f(h) \cdot (1 + h) = (1+h)^2$$
        En généralisant cette idée, on trouve :
        $$f(nh) \approx (1+h)^n$$
        Soit une suite de points de coordonnées $(nh, (1+h)^n)$ puis en remplaçant $h$ par $-h$, les points $(-nh, (1-h)^n)$.<br>
        En rejoignant ces points, on obtient une <e>approximation</e> de la solution de notre problème.
    </t>
</s>

<s>
    <ti>1.1 Existence et unicité</ti>
    <d>
        <t>
            <n>Il <e>existe</e> une <e>unique</e> fonction $f$</n><n>dérivable sur $\mathbb{R}$</n><n> telle que $f(0)=1$ et :</n>
            <n>
            $$
            f^{\prime}=f 
            $$
            </n>
            <n>Cette fonction est appelée fonction </n><n><e>exponentielle</e></n><n> et est notée $\exp$.</n><br>
            <n>Ainsi, pour tout réel $x$,</n> :
            <ul>
                <li>
                    <t><n>$\exp (0)=1$</n></t>
                </li>
                <li>
                    <t>
                        $\exp^{\prime}(x)=\exp (x)$
                    </t>
                </li>
            </ul>
        </t>
    </d>
    <rq/>
    <t>
        L'existence de la fonction exponentielle est admise, mais peut être conjecturée à l'aide de la méthode d'Euler.
    </t>
</s>
<s>
    <ti>1.2 Non nullité</ti>
    <p>
        <t>
            Pour tout réel $x$, on a :
            $$\exp (x) \times \exp (-x)=1$$
            En conséquence, pour tout réel $x, \exp (x) \neq 0$.
        </t>
    </p>
</s>

<s>
    <pr/>
    <t>
        On définit la fonction $h$ pour tout réel $x$ par $h(x)=\exp (x) \times \exp (-x)$.<br>
        La fonction exponentielle étant dérivable sur $\mathbb{R}, h$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$, on a :
        $$
        h^{\prime}(x)=\exp ^{\prime}(x) \times \exp (-x)+\exp (x) \times\left(-\exp ^{\prime}(-x)\right)
        $$

        Or par définition de la fonction exponentielle, $\exp ^{\prime}=\exp$.<br>
        Donc $h^{\prime}(x)=\exp (x) \times \exp (-x)-\exp (x) \times \exp (-x)$, soit $h^{\prime}(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.<br>
        La fonction $h$ est donc constante sur $\mathbb{R}$.<br>
        Or $h(0)=\exp (0) \times \exp (0)=1 \times 1=1$, car $\exp (0)=1$ par définition.<br>
        Ainsi, pour tout réel $x, h(x)=1$, c'est-à-dire $\exp (x) \times \exp (-x)=1$.<br>
        De plus, s'il existait un réel $x$ tel que $\exp (x)=0$, on aurait $h(x)=0$, ce qui est impossible. On en déduit que pour tout réel $x, \exp (x) \neq 0$.
    </t>
</s>

<s>
    <par>2. Propriétés algébriques</par>
</s>

<s>
    <p>
        <t>
            Pour tous réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$, on a :
            <ul>
                <li>
                    <t> $\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}$</t>
                </li>
                <li>
                    <t>$\exp (x+y)=\exp (x) \times \exp (y)$</t>
                </li>
                <li>
                    <t>
                        $\exp (x-y)=\frac{\exp (x)}{\exp (y)}$
                    </t>
                </li>
                <li>
                    <t>
                        $\exp (n x)=(\exp (x))^n$
                    </t>
                </li>
            </ul>
        </t>
    </p>
</s>

<s>
    <pr/>
    <t>
        Démonstration de $\exp (x+y)=\exp (x) \times \exp (y)$.<br>
        Soit $y$ un réel. On définit la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\exp (x+y) \times \exp (-x)$.<br>
        Pour tout réel $x$, on a :
        $$
        h^{\prime}(x)=1 \times \exp (x+y) \times \exp (-x)+\exp (x+y) \times(-1) \times \exp (-x)=0
        $$

        La fonction $h$ est donc constante sur $\mathbb{R}$. Or $h(0)=\exp (y)$.
        Ainsi pour tout réel $x, h(x)=\exp (y)$.<br>
        On en déduit que, pour tout réel $x, \exp (x+y) \times \exp (-x)=\exp (y)$.<br>
        C'est-à-dire $\exp (x+y)=\frac{1}{\exp (-x)} \times \exp (y)$.
        Or $\exp (-\boldsymbol{x})=\frac{1}{\exp (\boldsymbol{x})}$ d'après (1). <br>
        D'où : $\exp (x+y)=\exp (x) \exp (y)$.
    </t>
</s>

<s>
    <ex/>
    <ul>
        <li>
            <t>
                Montrons l'égalité :
                $$\frac{1-\exp(-x)}{1+\exp(-x)}=\frac{\exp(x)-1}{\exp(x)+1}$$
                En effet, en <e>multipliant</e> numérateur et dénominateur par $\textcolor{blue}{\exp(x)}$, on a :
                $$\frac{(1-\exp(-x))\textcolor{blue}{\exp(x)}}{1+\exp(-x)\textcolor{blue}{\exp(x)}}=\frac{\textcolor{blue}{\exp(x)}-\textcolor{blue}{\exp(x)}\exp(x)}{\textcolor{blue}{\exp(x)}+\textcolor{blue}{\exp(x)}\exp(x)}=\frac{\exp(x)-1}{\exp(x)+1}$$
            </t>
        </li>
        <li>
            <t>
                Développer et réduire : $A=(\exp(x) +\exp(-x))^2-(\exp(x)-\exp(-x))^2$ :
                $$A= \exp(2x) +2 \textcolor{blue}{\exp(x)\exp(-x)}+ \exp(-2x)-(\exp(2x) -2 \textcolor{blue}{\exp(x)\exp(-x)}+ \exp(-2x))=2-(-2)=4 $$
            </t>
        </li>
    </ul>

</s>

<s>
    <par>2. Notation puissance</par>
</s>

<s>
    <ti>2.1 Définition du nombre $e$</ti>
    <d>
        <t>
            L'image de $1$ par la fonction exponentielle est notée $e$. Ainsi :            
            $$\exp (1)=e$$
        </t>
    </d>
    <rq/>
    <t>
        Les propriétés algébriques vues précédemment permettent d'écrire que, pour tout entier relatif $n$, on a :
        $$\exp (n)=\exp (1 \times n)=(\exp (1))^n=e^n$$
        D'autre part, la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés algébriques que les fonctions <e>puissances</e>.<br>
        Par exemple, pour tous entiers $n$ et $m$ :
        $$
        e^{n+m}=e^n \times e^m
        $$ 
    </t>
    <rq/>
    <t>
        Par convention, on décide de noter pour tout réel $x: \exp (x)=e^x$.
    </t>
</s>

<s>
    <p>
        <t>
            Avec la notation ci-dessus, on a pour tous réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$ :
            <ul>
                <li>
                    <t>$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$</t>
                </li>
                <li>
                    <t>$e^{x+y}=e^x \times e^y$</t>
                </li>
                <li>
                    <t>$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$</t>
                </li>
                <li>
                    <t>$e^{n x}=\left(e^x\right)^n$</t>
                </li>
            </ul>
        </t>
    </p>
</s>


<s>
    <ti>2.3 Lien avec les suites géométriques</ti>
    <p>
        <t>
            Pour tout réel $a$, la suite ( $e^{n a}$ ) est une suite géométrique.
        </t>
    </p>
    <pr/>
    <t>
        Soit $a$ un réel, on définit la suite  $(u_n)$ par $u_n=e^{n a}$.<br>
        Pour tout entier naturel $n$
        $$u_{n+1}=e^{(n+1) a}=e^{n a+a}=e^{n a} \times e^a=u_n \times e^a$$
        On en déduit que la suite ( $u_n$ ) est une suite <e>géométrique</e> de raison $e^a$ et de premier terme $u_0=e^0=1$.
    </t>
</s>

<s>
    <ex/>
    <t>
        La population en millions d'hvabitants du Royaume-Uni peut être modélisé entre 2004 et 2018 par l'expression suivante :
        $$f(t)=59,77 e^{0,0074 t}$
        où $t$ désigne le nombre d'années écoulées depuis janvier 2004.<br>
        Déterminons le taux d'augmentation annuel et mensuel à 0,01 % près:
        <ol>
            <li>
                <t>
                    Pour le taux annuel, calculons :
                    $$\frac{f(t+1)}{f(t)}=\frac{59,77 e^{0,0074 (t+1)}}{59,77 e^{0,0074 t}}=\frac{59,77 e^{0,0074 t} e^{0,0074}}{59,77 e^{0,0074 t}}=e^{0,0074}\approx 1,00742$$
                    Ce qui correspond à une augmentation de 0,74 %.
                </t>
            </li>
            <li>
                <t>
                    Pour le taux mensuel, calculons :
                    $$\frac{f(t+\frac{1}{12})}{f(t)}=\frac{59,77 e^{0,0074 (t+\frac{1}{12})}}{59,77 e^{0,0074 t}}=\frac{59,77 e^{0,0074 t} e^{0,0074 \times \frac{1}{12}}}{59,77 e^{0,0074 t}}=e^{0,0074}\approx 1,00742$$
                    Soit une augmentation de 0,6 %.
                </t>
            </li>
        </ol>
    </t>
</s>

<s>
    <ex/>
    <t>
        En musique, le rapport d'octave est 2, les fréquences sont données par :
        <table>
        <thead>
        <tr>
        <th><strong>Note</strong></th>
        <th>do</th>
        <th>do♯</th>
        <th>ré</th>
        <th>mi♭</th>
        <th>mi</th>
        <th>fa</th>
        <th>fa♯</th>
        <th>sol</th>
        <th>sol♯</th>
        <th>la</th>
        <th>si♭</th>
        <th>si</th>
        <th>do</th>
        </tr>
        </thead>
        <tbody><tr>
        <td><strong>Fréquence</strong></td>
        <td>264</td>
        <td>275</td>
        <td>297</td>
        <td>317</td>
        <td>330</td>
        <td>352</td>
        <td>371</td>
        <td>396</td>
        <td>412</td>
        <td>440</td>
        <td>475</td>
        <td>495</td>
        <td>528</td>
        </tr>
        </tbody></table>
        Retrouvons la fréquence du <e>la</e>, en supposoant que la fréquence d'un note dans l'octave est donnée par :
        $$f(x)=264 e^{a x}$$
        où $a$ est un réel à déterminer.
        Observons que :
        $$\frac{f(x+12)}{f(x)} =2$$
        Ainsi :
        $$\frac{264 e^{a(x+12)}}{264 e^{ax}} = 2 \Rightarrow e^{12 a} = 2  $$ 
        A l'aide de la calculatrice, on voit que l'unique antécédent de 2 par la fonction exponentielle est environ $x \approx 0,693$.
        Cela montre que $12a=x$ puis $a= \frac{x}{12} \approx 0,05777$.
        La fréquence du <e>la</e> est donc :
        $$f(9)=264 e^{0,05777 \times 9} \approx 440$$
    </t>
</s>


<s>
    <par>3. Etude de la fonction exponentielle</par>
</s>

<s>
    <ti>3.1 Signe et sens de variation</ti>
    <p>
        <t>
            La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
            Ainsi pour tout réel $x$, on a $e^x>0$.
        </t>
    </p>

    <pr/>
    <t>
        Pour tout réel $x$, on peut écrire $e^x=e^{2 \times \frac{x}{2}}=\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2$.<br>
        Le carré $\mathrm{d}^{\prime}$ un nombre réel étant toujours positif, on en déduit que pour tout réel $x, e^x \geqslant 0$.<br>
        De plus, on sait que pour tout réel $x, e^x \neq 0$. On a donc $e^x>0$. 
    </t>
</s>

<s>
    <ti>3.2 Stricte croissance</ti>
    <p>
        <t>
            La fonction exponentielle est <e>strictement croissante</e> sur $\mathbb{R}$.
        </t>
    </p>

    <pr/>
    <t>
        Par définition, on sait que pour tout réel $x$:
        $$\exp'(x)=\exp (x)$$
        Or, la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.<br>
        Ainsi la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    </t>
</s>

<s>
    <rq/>
    <t>
        Ce résultat permet de résoudre des équations et des inéquations.<br>
        Pour tous réels $a$ et $b$ :
    </t>
    <ul>
        <li>
            <t>$e^a=e^b \Leftrightarrow a=b$</t>
        </li>
        <li>
            <t>$e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$</t>
        </li>
    </ul>
</s>

<s>
    <ti>3.2 Représentation graphique</ti>
    <p>
        <t>
            Allure de la représentation graphique
        </t>
    </p>
    <rq/>
    <ul>
        <li>
            <t>La courbe $\mathscr{C}_{\text {exp }}$ passe par les points de coordonnées $(0 ; 1)$ et $( 1 ; e )$.</t>
        </li>
        <li>
            <t>La courbe $\mathscr{C}_{\text {exp }}$ est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses et ne le coupe jamais.</t>
        </li>
    </ul>

</s>
<s>
    <ti>3.3 Dérivée de la fonction $x \mapsto \exp (a x+b)$</ti>
    <p>
        <t>
            Soient $a$ et $b$ deux réels.
            La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{a x+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.<br>
            De plus, pour tout réel $x$:
            $$f^{\prime}(x)=a \times e^{a x+b}$$
        </t>
    </p>
    <pr/>
    <t>
        Comme $f(x)=\exp (a x+b)$, d'après les formules qui permettent de dériver $g(x+b)$, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x, f^{\prime}(x)=a \times \exp ^{\prime}(a x+b)=a \times \exp (a x+b)$.
    </t>
</s>

<s>
    <ex/>
    <t>
        Etude de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
        $$f(x)=e^{2x}-2x$$
        On observe que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifie :
        $$f'(x)=2e^{2x} -2 = 2(e^{2x} - 1) \geq 0 \iff e^{2x} \geq 1 \iff 2x \geq 0 \iff x \geq 0$$
        Ainsi, la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty;0]$.
        Elle admet un minimum en $x=0$ qui vaut $f(0)=e^0-0=1$
    </t>
</s>

'''

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    return re.sub(r"(<o>(?:.|\s)+?<\/o>)", lambda x: f'<li class="flex items-center fragment fade-right"><span class="w-6 h-6 rounded bg-blue-500 text-white mr-3 flex items-center justify-center">✓</span><div>{x.group(0)[3:-4]}</div></li>', t)

def make_title(t):
    t = re.sub(r"(<cha>(?:.|\s)+?<\/cha>)", lambda x: f'<div class ="border-[#A5D7FB] border-t-2 border-b-0 border-l-0 border-r-0 mb-24"></div><div class="font-extrabold text-black text-6xl mb-32 fragment fade-up">{x.group(0)[5:-6]}</div>\n', t)  
    fmt = '''<div class="display block bg-blue-50 border p-8 mt-12 border-blue-200 border-t-2 border-b-2 border-r-0 border-l-0 h-40 mx-auto fragment fade-up">
<div class="text-xl flex justify-center text-center items-center -mt-14 px-20 mx-64 py-2 rounded-xl bg-blue-500 text-white font-bold">Objectifs du chapitre</div>
<ul class="ml-24 text-lg font-semibold mt-12 pt-8 list-inside list-none space-y-1 columns-2">'''
    t = re.sub(r"(<os>(?:.|\s)+?<\/os>)", lambda x: f'''{fmt}{make_objs(x.group(0)[4:-5])}</ul>\n</div>''', t)
    return f'<section>{t}<div class="mt-24 flex items-center justify-center"><img width="300" src="/images/ornament1.svg" alt="ornament-down"></div></section>'

    
def make_section(section):
    # proofs, remarks and examples
    section = section.replace("<pr/>", '<div class="text-left text-orange-500 font-bold mb-2 fragment fade-in">Preuve</div>')
    section = section.replace("<rq/>", '<div class="text-left text-orange-500 font-bold mb-2 fragment fade-in">Remarque</div>')
    section = section.replace("<ex/>", '<div class="text-left text-green-500 font-bold mb-2 fragment fade-in">Exemple</div>')
    section = section.replace("<li>", '<li class="fragment fade-in">')
    # paragraphs
    section = re.sub(r"(<par>(?:.|\s)+?<\/par>)", lambda x: f'<div class="text-5xl font-black text-sky-600">{x.group(1)[5:-6]}</div>', section)
    # title
    section = re.sub(r"(<ti>(?:.|\s)+?<\/ti>)", lambda x: f'<div class="text-3xl text-left font-bold text-sky-600 mb-4  fragment fade-in">{x.group(1)[4:-5]}</div>', section)
    # defs
    section = re.sub(r"(<d>(?:.|\s)+?<\/d>)", lambda x: f'<div class="relative border rounded-xl p-8 mt-12 mb-6 w-full bg-green-50 border-green-300 shadow-md text-left fragment fade-up"><div class="absolute -top-5 left-4 px-3 py-3 text-white bg-green-600 font-bold">Définition</div>{to_fragments(x.group(1)[3:-4])}</div>', section)
    # props
    section = re.sub(r"(<p>(?:.|\s)+?<\/p>)", lambda x: f'<div class="relative border rounded-xl p-8 mt-12 mb-6 w-full bg-blue-50 border-blue-300 shadow-md text-left fragment fade-up"><div class="absolute -top-5 left-4 px-3 py-3 text-white bg-blue-600 font-bold">Proposition</div>{to_fragments(x.group(1)[3:-4])}</div>', section)
    # theos
    section = re.sub(r"(<the>(?:.|\s)+?<\/the>)", lambda x: f'<div class="relative border rounded-xl p-8 mt-12 mb-6 w-full bg-red-50 border-red-300 shadow-md text-left fragment fade-up"><div class="absolute -top-5 left-4 px-3 py-3 text-white bg-red-600 font-bold">Théorème</div>{to_fragments(x.group(1)[5:-6])}</div>', section)
    # simple txts
    section = to_fragments(section)
    # python snippet
    section = re.sub(r"(<py>(?:.|\s)+?<\/py>)", lambda x: make_code(x.group(0)[4:-5].strip()), section)
    return section

def make_slide(slide):
    title, *sections = re.findall(r"(?<=<s>)(?:.|\s)+?(?=<\/s>)", slide)
    slides = '\n\n'.join(f"<section>{make_section(section)}</section>" for section in sections)
    return f"{make_title(title)}\n\n{slides}"

html = make_slide(slide)
print(html)

Fork

<s>
 <cha>Combinatoire et dénombrement</cha>
 <os>
 <o>Cardinalité</o>
 <o>Produit cartésien</o>
 <o>Arrangements, permutations</o>
 <o>Parties et combinaisons</o>
 </os>
</s>

<s>
<par>1. Cardinalité</par>
</s>

<s>
 <ti>1.1 Définition, exemples</ti>
 <d>
 <t>
 <a>Soit $A$ un ensemble <e>fini</e></a> 
 <a>Le <e>cardinal</e> de $A$ </a><a>noté $\text{Card}(A)$</a> <a> ou encore $|A|$</a> <a>désigne le nombre d'éléments de $A$.</a> 
 </t>
 </d>
 <rq/>
 <t>
 <a>Si $A$ comporte $n$ éléments, </a><a>il est possible d'associer à chaque élément de $A$, de manière unique (on dit aussi
 biunivoque), </a> <a>un entier $1 \leq k \leq n$ </a> <a>de sorte qu'on puisse </a> <a><e>énumérer</e></a><a> les éléments de $A$ :</a> 
 <a>$$A =\left\{ a_1; a_2;...;a_n\right\}$$</a>
 </t>
</s>

<s>
<ex/>
<ol>
 <ul>
 <li><t>
 <a>L'ensemble des lettres de l'alphabet latin est un ensemble fini de cardinal 26.</a>
 </t></li>
 <li><t>
 <a>Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels, </a> <a>l'ensemble de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est </a><a> fini </a><a>car il est de cardinal inférieur ou égal à $2$.</a>
 </t></li>
 </ul>
 <ul>
 <li><t>
 <a>L'ensemble des nombres entiers $\mathbb{N}$ est infini.</a>
 </t></li>
 <li><t>
 <a>Il en va de même de l'ensemble $\mathscr{P}$ des nombres premiers</a><a> ou de l'ensemble des solutions réelles de l'équation $\cos x= 1$.</a>
 </t></li>
 </ul>
</ol>
</s>

<s>
 <ti>1.2 Cardinalité et disjonction</ti>
 <d>
 <t>
 Deux ensembles A et B sont <e>disjoints</e> s'ils n'ont pas d'élément commun :
 $$A \cap B = \emptyset$$
 </t>
 </d>
 
 <t>
 Si A et B sont deux ensembles <e>disjoints</e>, alors :
 $$|A \cup B| = |A| + |B|$$
 </t>
 
</s>

<s>
	<rq/>
	<ol>
		<li>
 Dans le cas d'ensembles <e>deux à deux disjoints</e> $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$ càd vérifiant pour tous entiers $i$ et $j$ distincts: 
			$$A_i\cap A_j =\emptyset$$ 
			On a :
			$$\left|A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n-1} \cup A_n \right| =|A_1|+|A_2|+\cdots +|A_{n-1}|+|A_n|$$
 </li>
		<li>
 Dans le cas où $A$ et $B$ ne sont <e>pas disjoints</e>, on a : 
			$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$$
 </li>
	</ol>
</s>

<s>
 <ti>1.3 Cardinalité et produit cartésien</ti>
 <d>
 <t>
 Soit $A$ et $B$ deux ensembles, on définit le produit cartésien de $A$ et $B$ noté $A\times B$ comme l'ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b \in B$:
			$$A\times B=\lbrace (a,b) \, \, \text{tel que }\, a\in A, b\in B \rbrace$$
 </t>
 </d>
 <ex/>
 <t>
 <a>Si $X=\llbracket 0, 3 \rrbracket =\lbrace 0;1;2;3 \rbrace $ et $Y=\lbrace A;B;C \rbrace$, </a><a>alors :</a>
		<a>$$X \times Y= \lbrace (0,A);(0,B);(0,C);(1,A);(1,B);(1,C);(2,A);(2,B);(2,C);(3,A);(3,B);(3,C)\rbrace$$</a>
 </t>
</s>

<s>
 <py>
# Affichage des éléments du produit cartésien A * B
X = range(4)
Y = "ABC"
for x in X:
	for y in Y:
		print((x, y))
 </py>
</s>

<s>
 <d>
 <t>
 <a>Soit $n\geq 1$ un entier.</a> 
 <a>La définition précédente se généralise aisément </a><a> au cas de $n$ ensembles $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$.</a> 
 <a> En particulier :</a>
 <a>$$A^n=\underbrace{A\times A \times \cdot \times A \times A}_{n \text{ fois}}$$</a>
 <a>Un <e>élément</e> de $A^n$ </a><a> est alors appelé un $n$-uplet de $A$.</a>
 </t>
 </d>
 <ex>
 <ol>
 <li><t>
 <a> On identifie le plan avec $\mathbb{R}^2$ </a> <a>et l'espace (à trois dimensions) avec $\mathbb{R}^3$.</a> <a>Ainsi, l'élément $(\sqrt{2},1)$ de $\mathbb{R}^2$ est un </a> <a>2-uplet (couple) de $\mathbb{R}$.</a>
 </t></li>
 <li><t>
 <a>$(-1,1,2,-3)$ est un 4-uplet de $\mathbb{Z}$, </a><a>c'est dont un élément de $\mathbb{Z}^4$.</a>
 </t></li>
 </ol>
</s>

<s>
 
 <t>
 Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis alors :
 $$|A \times B| = |A| \times |B|$$
 En particulier, si $A$ un ensemble de cardinal $n$ :
 $$|A^p| = |A|^p=n^p$$
 </t>
 
</s>

<s>
 <ex/>
 <t>
 Un code est composé de trois lettres choisies parmi A, B et C et de deux chiffres parmi 0 et 1, leur ensemble peut être identifié avec $E=X^3 \times Y^2$ où $X$ désigne l'ensemble des $3$ lettres de l'alphabet et $Y$ l'ensemble des deux chiffres 0 et 1. 
 Le nombre de codes possibles est donc :
 $$|E|= 3^3\times 2^2=108$$
 </t>
 <py>
 from itertools import product
 
 letters = "ABC"
 digits = "01"
 for a in product(letters, repeat=3):
 for b in product(digits, repeat=2):
 print(f"{''.join(a)}{''.join(b)}")
 </py>
</s>

<s>
 <par>2. Arrangements, permutations</par>
</s>

<s>
 <ti>
 2.1 Factorielle d'un nombre entier
 </ti>
 <d>
 <t>
 Soit $n$ un entier naturel non nul, on appelle <e>factorielle</e> $n$ le nombre noté $n!$ défini par :
 $$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$$
 Par convention, on pose : $0! = 1$
 </t>
 </d>
 <ex/>
 $$1! = 1 \qquad 2!=2 \qquad 3! =6 \qquad 4!=24 \qquad 5!=120 \qquad 6!=720$$
</s>

<s>
 <py># Version itérative
def factorial(n):
 p = 1
 for k in range(1, n + 1):
 p *= k
 return p
# Version récursive
def _factorial(n):
 return 1 if n == 0 else factorial(n - 1) * n

print([factorial(k) for k in range(10)])
print([_factorial(k) for k in range(10)])
 </py>
</s>

<s>
 <ti>2.2 Arrangements</ti>
 <d>
 <t>
 Soit $A$ un ensemble fini de cardinal $n$, et $p$ un entier vérifiant $p\leq n$, on appelle $p$<e>-arrangement</e> de $A$ tout $p$-uplet d'éléments <e>distincts</e> de $A$.
 </t>
 </d>
 <ex/>
 <t>
 Les 2-arrangements de $E=\lbrace a;b;c;d \rbrace$ forment l'ensemble :
 $$ \lbrace (a,b);(a,c);(a,d);(b,a);(b,c);(b,d);(c,a);(c,b);(c,d);(d,a);(d,b);(d,c)\rbrace$$
 </t>
</s>

<s>
 
 <t>
 Soient $n$ et $p$ deux entiers vérifiant $1\leq p\leq n$, alors le nombre d'arrangements de $p$ éléments d'un ensemble contenant $n$ éléments est :
 $$\mathcal{A}_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)$$
 </t>
 
 <pr/>
 <t>Étant donné un $p$-uplet $(a_1,a_2,\cdots,a_p)$ de $A$ :</t>
 <ol>
 <li>
 <t>
 l'élément $a_1$ est choisi parmi $n$ possibilités,
 </t>
 </li>
 <li>
 <t>
 l'élément $a_2$ parmi $n-1$ car il est distinct de $a_1$,
 </t>
 </li>
 <li>
 <t>
 l'élément $a_3$ parmi $n-2$, etc.
 </t>
 </li>
 <li>
 <t>
 Le dernier élément $a_p$ est choisi parmi les $n-(p-1)=n-p+1$ restants.
 </t>
 </li>
 </ol>
</s>
<s>
 <rq/>
 <ul>
 <li>
 <t>
 On peut réécrire ce nombre sous la forme :
 $$\mathcal{A}_n^p=\frac{n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdot\cdots \cdot(n-p+1) \cdot \textcolor{blue}{(n-p)\cdot(n-p-1)\cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1}}{\textcolor{blue}{(n-p)\cdot(n-p-1)\cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1}}=\frac{n!}{(n-p)!}$$
 </t>
 </li>
 <li>
 <t>
 $\mathcal{A}_n^p$ donne le nombre de façons de choisir $p$ objets distincts parmi $n$ en tenant compte de l'ordre.
 </t>
 </li>
 </ul>
</s>

<s>
 <ti>2.3 Permutations</ti>
 <d>
 <t>
 Soit $A$ un ensemble de cardinal $n$, une <e>permutation</e> de $A$ est un $n$-uplet d'éléments <e>distincts</e> de $A$.
 Il s'agit d'un arrangement particulier de $n$ éléments de $A$.
 </t>
 </d>
 <ex/>
 <t>
 Si $A=\llbracket 1, 3\rrbracket$ alors les permutations de $A$ forment l'ensemble :
 $$\mathfrak{S}(A)= \lbrace (1,2,3);\textcolor{blue}{(2,1,3);(1,3,2);(3,2,1)};\textcolor{magenta}{(3,1,2);(2,3,1)}\rbrace$$
 </t>
 
 <t>
 Soit $A$ un ensemble de cardinal $n$, ses permutations forment un ensemble noté $\mathfrak{S}(A)$ de cardinal $n!$.
 </t>
 
</s>

<s>
 <ex/>
 <t>
 Le mot "CHAT" possède $4!=24$ anagrammes.
 </t>
 <py>
from itertools import permutations

for p in permutations('CHAT'):
 print(''.join(p))
 </py>
</s>

<s>
 <par>3. Parties d'un ensemble</par>
</s>

<s>
 <d>
 <t>
 Soit $E$ un ensemble, on appelle partie de $E$ tout sous-ensemble de $E$. 
 Si $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $p$ un entier vérifiant $p\leq n$, on appelle $p$-combinaison de $A$ toute partie de $A$ de cardinal $p$.
 </t>
 </d>
 <rq/>
 <t>
 Dans une partie, l'ordre d'écriture des éléments n'a <e>pas d'importance</e> (contrairement aux arrangements).
 </t>
</s>

<s>
 <ex/>
 <t>
 Les $3$-combinaisons de $\lbrace 1;2;3;4 \rbrace $ sont :
 $$\lbrace 1;2;3 \rbrace \qquad \lbrace 2;3;4 \rbrace \qquad \lbrace 1;3;4 \rbrace \qquad \lbrace 1;2;4 \rbrace$$
 </t>
 <py>
from itertools import combinations

s = (1, 2, 3, 4)
for p in combinations(s, r=3):
 print(p)
 </py>
</s>

<s>
 
 <t>
 Soient $n$ et $p$ deux entiers vérifiant $0\leq p\leq n$, alors le nombre de $p$-combinaisons d'un ensemble contenant $n$ éléments est noté $\binom{n}{p}$ et se lit "$p$ parmi $n$", vérifie :
 $$\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} $$
 </t>
 
</s>

<s>
 <pr/>
 <t>
 Considérons une $p$-combinaison de : $\lbrace x_1;x_2;x_3;\cdots;x_{p-1};x_p \rbrace$. 
 Chaque $p$-combinaison (sans ordre) donne lieu à exactement $p!$ arrangements (où l'ordre compte). 
 Par exemple, les arrangements $(a,b,c)$, $(b,a,c)$, $(a,c,b)$, $(c,b,a)$, $(c,a,b)$, $(b,c,a)$ correspondent à la même partie $\lbrace a;b;c\rbrace$. 
 Cette remarque montre que :
 $$\binom{n}{p} \times p! =\mathcal{A}_n^p \Longrightarrow \binom{n}{p}=\frac{\textcolor{blue}{\mathcal{A}_n^p}}{p!}=\frac{\textcolor{blue}{n!}}{p!\textcolor{blue}{(n-p)!}} $$
 </t>
</s>

<s>
 <ex/>
 <ol>
 <li>
 <t>
 $$\binom{5}{2}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$$
 </t>
 </li>
 <li>
 <t>
 $$\binom{9}{4}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2\times 1}=
\frac{9 \times \textcolor{blue}{4} \times 2 \times 7 \times \textcolor{blue}{6}}{\textcolor{blue}{4} \times \textcolor{blue}{6}} =9 \times 2 \times 7 = 126 $$
 </t>
 Ce résultat peut être obtenu à la calculatrice :
 $$ 9 \quad \fbox{MATH} \quad \fbox{PROB} \quad \fbox{Combinaison} \quad 4$$
 </li>
 <li>
 <t>
 Puisque $\binom{n}{p}$ est aussi le nombre de façons de choisir $p$ objets distincts parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre, le nombre de grilles de LOTO, qui correspond au choix de $5$ boules parmi $49$, s'élève à :
 $$\binom{49}{5}=1906884$$
 </t>
 </li>
 </ol>

</s>

<s>
 
 <t>
 Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
 $$\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n} \qquad \binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1} \qquad \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}=\binom{n}{n-2}$$
 </t>

<t>
 Plus généralement, pour tout $p\leq n$ on observe la symétrie:
 $$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$$
 </t>
 
</s>

<s>
 <pr/>
 <t>
 <a>En effet, on peut le voir :</a>
 </t>
 <ul>
 <li>
 <t>
 soit à l'aide d'un calcul direct :
 $$\binom{n}{\textcolor{blue}{n-p}}= \frac{n!}{\textcolor{blue}{(n-p)}!(n-\textcolor{blue}{(n-p)})!}=\frac{n!}{(n-p)!p!}= \binom{n}{p}$$
 </t> 
 </li>
 <li>
 <t>
 soit en remarquant que choisir $p$ éléments parmi $n$ revient à choisir $n-p$ éléments parmi $n$ qu'on ne prend pas.
 </t> 
 </li>
 </ul>
</s>

<s>
 <ex/>
 <t>
 Une urne contient $5$ boules blanches et $7$ boules noires. On tire $5$ boules simultanément de l'urne. 
 Quelle est la probabilité $p$ d'en choisir $2$ blanches et $3$ noires ? 
 Les formules précédentes montrent qu'il y a :
 </t>
 <ul>
 <li>
 <t>$\binom{5}{2}$ façons de choisir 2 boules blanches parmi 5,</t>
 </li>
 <li>
 <t>puis $\binom{7}{3}$ façons de choisir 3 boules noires parmi 7,</t>
 </li>
 <li>
 <t>et enfin $\binom{12}{5}$ façons de choisir 5 boules parmi 12,</t>
 </li>
 </ul>
 <t>
 Puisque les tirages sont équiprobables, on en déduit :
 $$p=\frac{\binom{5}{2}\times\binom{7}{3}}{\binom{12}{5}} \approx 0,442$$
 </t>
</s>

<s>
 <ti>
 3.2 Triangle de Pascal
 </ti>
 
 <t>
 Pour tous entiers $0\leq p\leq n-1$, on a :
 $$\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p+1}+\binom{n}{p}$$
 </t>
 
 
 <pr/>
 <t>
 Soit $E$ un ensemble à $n+1$ éléments, le nombre de parties de $E$ ayant $p+1$ éléments est $\binom{n+1}{p+1}$. 
 Calculons autrement le nombre de ces parties en remarquant que si l'on fixe un élément $x\in E$, il n'y a que deux possibilités pour ces parties :
 
 </t>
 <ul>
 <li>
 <t>soit elles contiennent $x$, elles sont au nombre de $\binom{n}{p}$.</t>
 </li>
 <li>
 <t>soit elles ne contiennent pas $x$, il y en a $\binom{n}{p+1}$.</t>
 </li>
 </ul>
</s>

<s>
 <ex/>
 <ol>
 <li>
 <t>
 $$\binom{6}{3}= \frac{6\times 5 \times 4 }{3!} = 20 \qquad \binom{5}{2}+\binom{5}{3} = 10 + 10= 20$$</t>
 </li>
 <li>
 <t>
 Simplifions l'expression suivante :
 $$
 \begin{align}
 1+\binom{n}{1}+\binom{n+1}{2}+\binom{n+2}{3}&=&\underbrace{\binom{n}{0}+\binom{n}{1}}+\binom{n+1}{2}+\binom{n+2}{3}\\
 &=&\underbrace{\binom{n+1}{1}+\binom{n+1}{2}}+\binom{n+2}{3}\\
 &=&\binom{n+2}{2}+\binom{n+2}{3}\\
 &=&\binom{n+3}{3}
 \end{align}
 $$
 </t>
 </li>
 </ol>
</s>

<s>
 
 <t>
 La formule précédente montre qu'on peut calculer de \textit{proche en proche} les $\binom{n}{p}$ : 
 $$
 \begin{align*}
 & p & & p+1 & & p+2 \\ 
 &&&&&\\
 n\qquad & \binom{n}{p} & \xrightarrow{\;\;\; +\; \;\;} & \binom{n}{p+1} & \xrightarrow{\;\;\; +\; \;\;} & \binom{n}{p+2} \\

&  &  & \Downarrow &  & \Downarrow  \\

n+1 \qquad & & & \textcolor{blue}{\binom{n+1}{p+1}} & &\binom{n+1}{p+2} \\ 
 \end{align*} 
 $$
 </t>
 
</s>

<s>
 <ex/>
 <t>
 En appliquant cette formule ligne après ligne, on obtient :
 $$
 \begin{align*}
 \qquad & p=0& p=1 &p=2 &p=3 & p=4 & p=5\\ 
 \qquad n=0& 1& & & & & \\ 
 \qquad n=1&1&1 & & & & \\ 
 \qquad n=2&1& 2 &1 & & & \\ 
 \qquad n=3&1& 3 & 3 & 1 & & \\ 
 \qquad n=4&1& 4 & 6 & 4 & 1 & \\ 
 \qquad n=5&1& 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ 
 \end{align*}
 $$
 </t>
</s>

<s>
 <py>
def pascal_tri(n):
 c = [[1]] #Ligne "0" du triangle : index 0
 for i in range(1, n + 1):
 l = [1] #Chaque ligne commence par 1
 for j in range(1, i):
 l.append(c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j])
 l.append(1)
 c.append(l)
 return c

n = 10
a = pascal_tri(n)
for i in range(len(a)):
 print(a[i]) 
 </py>
</s>

<s>
 <ti>3. Ensemble des parties</ti>
 <d>
 <t>
 La collection de ces parties forment l'<e>ensemble des parties</e> de $E$ noté $\mathscr{P}(E)$.
 </t>
 </d>
 <rq/>
 <t>
 L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble!
 </t>
 <ex/>
 <ol>
 <li>
 <t>Si $E=\lbrace a;b\rbrace$, alors $\mathscr{P}(E)=\lbrace \emptyset; \lbrace a \rbrace; \lbrace b \rbrace; \lbrace a;b\rbrace \rbrace$</t>
 </li>
 <li>
 <t>Si $E=\lbrace a;b;c\rbrace$, alors $\mathscr{P}(E)=\lbrace \emptyset ;\lbrace a \rbrace;\lbrace b \rbrace;\lbrace c\rbrace; \lbrace a;b \rbrace, \lbrace a;c \rbrace;\lbrace b;c \rbrace; \lbrace a;b;c \rbrace \rbrace$</t> 
 </li>
 </ol>
 <py>
from itertools import combinations

s = "abcd"
for k in range(len(s) + 1):
 for p in combinations(s, r=k):
 print(p) 
 </py>
</s>

<s>
 
 Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$:
 $$\textcolor{blue}{|\mathscr{P}(E)|=2^n}$$
 
</s>

<s>
 <pr/>
 <t>
 On peut établir une correspondance biunivoque entre les parties de $E$ et les éléments de $\lbrace 0;1\rbrace^n$. 
 En effet, notons $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_{n-1}$, $x_n$ les éléments de $E$. 
 A toute partie $A$, on peut associer un unique $n$-uplet de $\lbrace 0,1\rbrace$ obtenu en mettant $1$ à la $i$-ème position si $x_i\in A$ et $0$ sinon.
 $$ f:\mathscr{P}(E) \longmapsto \lbrace 0;1\rbrace^n =F$$
 Par exemple :
 </t>
 <ul>
 <li>
 <t>Si $A=E$ alors $f(A) =(1,1,1,\cdots,1)$</t>
 </li>
 <li>
 <t>Si $A=\emptyset$, $f(A) = (0,0,0,\cdots,0)$</t>
 </li>
 <li>
 <t>Enfin, si $A=\lbrace x_2; x_3; x_{n-1} \rbrace$, on obtient le $n$-uplet $f(A)=(0,1,1,0, \cdots,0,1,0)$
 </t>
 </li>
 </ul>
 <t>
 On conclut alors en remarquant que :
 $$|F^n|=|F|^n=2^n$$
 </t>
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<s>
 
 <t>
 Pour tout entier naturel $n$, l'ensemble des parties de $E$ a pour cardinal :
 $$\sum_{p=0}^n \binom{n}{p} =2^n$$
 </t>
 
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 <pr/>
 <t>
 Si $E = \llbracket 1, n\rrbracket$, notons $A_p$ les parties de $E$ ayant exactement $0\leq p \leq n$ éléments. 
 La réunion suivante est <e>disjointe</e> :
 $$ \mathscr{P}(E)= A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n-1} \cup A_n$$
 Puisque $|A_p|= \binom{n}{p}$, on en déduit en passant au cardinal :
 $$|\mathscr{P}(E)| = |A_0| + |A_1| +|A_2| +\cdots +|A_n| = \sum_{p\, = \,0}^n |A_p| $$
 et enfin :
 $$2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=\sum_{p\, = \,0}^n \binom{n}{p}$$
 </t>
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