n=41
a=-5;b=5;x=0*1:n

for ( k in 1:n){  # Nós de Chebyshev reescalados.
x[k]=(a+b)/2+(b-a)*cos((2*k-1)/(2*n)*pi )/2}

y=1/(1+x^2)

n=length(x)
plot(x,y,col="red")

x=x/5      # Mudança de varivál paa melhorar condicionamento do sistema
plot(x,y,col="red")

# Agora cálculos mostram que a função g(u)= |Au-y|^2 / 2
# em que A é a matriz e é um vetor, como montamos no que segue.
n=length(x)
A=matrix(0,n,n); 
for ( j in 1:n){A[,j]=x^(j-1)}


u=0*x; v=y
B=t(A)%*%A; b=t(A)%*%v           # Adaptando o sistema para A*Au=A*v, ou Bu=b, em que B=A*A é positiva definida e b=A*v.
                                 # Início do método
w=B%*%u-b                        # w0
d=w                              # d1
h= t(w)%*%w /(t(B%*%w) %*%w)     # Escolha de h0 ou alpha0
u=u-h[1]*w                       # u1
w=B%*%u-b                        # w1

for ( j in 1:(100*n)){                
bt= t(B%*%d) %*%w/(t(B%*%d) %*%d) # Escolha de beta
d=w-bt[1]*d  
at= t(d) %*%w/(t(B%*%d) %*%d)    # Escolha de alpha
u=u-at[1]*d                   
w=B%*%u-b  
}
u                                # Aproximação para u(t), sendo t a soma dos passos h.
A%*%u-v     

poli<-function(s){
    p=u[1]
    for ( i in 2:n){p=p+u[i]*(s/5)^(i-1)}
    return(p)
} 

curve(poli,-5,5,col="blue",ylim=c(0,1))
points(5*x,y,col="red")        # Teste de ajuste.


Erro<-function(s){1/(1+s^2)-poli(s)}
curve(Erro,-5,5)

# Se quiser pode aumentar t e n ou escolher outra condição inicial 
# para se convencer do resultado obtido.

# Se quiser pode aumentar  n