s=r'''\section{A. Généralités}
 \begin{frame}
\begin{center}
\Large{A. Généralités}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{A.1 Définition}
\pause
Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère \textit{\textbf{orthonormé}}.\pause\\
\noindent \textsc{Théorème -définition}\pause\\
Soient $\overrightarrow{u}(x\,;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ deux vecteurs, \pause on définit le \textbf{\textit{produit scalaire}} \pause de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ par  :\pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \quad = \pause \quad xx'+yy'\quad (*)$$  \pause
Cette quantité est \textbf{\textit{indépendante}} du choix du repère.\pause\\
\textsc{Preuve}\pause\\
Recalculons l'expression donnée par la formule (*) en remarquant : \pause
\begin{eqnarray*}
|| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} ||^2-(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2) \pause
&=&(x+x')^2 \pause +(y+y')^2 \pause -(x^2+y^2+x'^2+y'^2) \pause \\
&=&x^2+x'^2+2xx'\pause +y^2+y'^2+2yy' \pause -\\
&&(x^2+y^2+x'^2+y'^2) \pause\\
&=&2(xx'+yy')\pause
\end{eqnarray*}
Ainsi, on obtient :\pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \pause \frac{1}{2}\left(|| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} ||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)$$ \pause
La quantité (*) dépend de la norme des vecteurs \pause $\overrightarrow{u}$, \pause $\overrightarrow{v}$ \pause et $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ \pause et non du choix du repère.\pause\\
\textsc{Exemple}\pause\\
On pose $\overrightarrow{u}(1;-3)$ \pause et $\overrightarrow{v}(-4;2)$, \pause alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\pause =xx'+yy' \pause =1\times (-4) \pause +(-3)\times 2 \pause =-10$
\end{frame}

\begin{frame}{A.2 Règles de calcul}
\pause \textsc{Propriétés} \pause\\
Soient $\overrightarrow{u}$, \pause $\overrightarrow{v}$ \pause et $\overrightarrow{w}$ \pause trois vecteurs \pause et $\lambda$ un réel, alors :\pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause =\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} \qquad \pause \text{(symétrie)} \pause \qquad \qquad \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} \pause =\overrightarrow{u}^2 \pause =||\overrightarrow{u}||^2 \qquad \pause \text{(norme)}$$ \pause
$$(\lambda\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v} \pause =\lambda (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})\qquad \quad \pause \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) \pause =\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause +\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} \pause \qquad \text{(linéarité)}$$ \pause
\quad \\
\textsc{Identités remarquables}\\ \pause
$$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 \pause =(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 \pause =\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2 \pause =||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+||\overrightarrow{v}||^2$$ \pause
$$||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 \pause =(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 \pause =\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2 \pause =||\overrightarrow{u}||^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+||\overrightarrow{v}||^2$$ \pause
$$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \pause =\overrightarrow{u}^2-\overrightarrow{v}^2 \pause =||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2$$\pause
\textsc{Exemple}\\ \pause
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs vérifiant : \pause
$||\overrightarrow{u}||=2$, \pause $||\overrightarrow{v}||=5$ \pause et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-3$. \pause\\
Calculons $||2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}||$ : \pause
\begin{eqnarray*}
||2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}||^2 \pause &=& (2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}).(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}) \pause =4\overrightarrow{u}^2 \pause -12\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause +9\overrightarrow{v}^2 \pause\\
&=& 4||\overrightarrow{u}||^2 \pause -12\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause +9||\overrightarrow{v}||^2 \pause\\
&=&4\times 2^2 \pause -12\times(-3) \pause +9\times 5^2 \pause =277 \pause
\end{eqnarray*}
Ainsi, $||2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}||=\sqrt{277}$
\end{frame}

\begin{frame}{A.3 Orthogonalité}
\pause \textsc{Définition} \pause\\
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ \pause sont dits \textbf{\textit{orthogonaux}} \pause si leurs directions sont \textit{perpendiculaires}, \pause on note : \pause
$$\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}$$ \pause
\textsc{Théorème}\\ \pause
Soient $\overrightarrow{u}(x\,;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ deux vecteurs. \pause On a : \pause
$$\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v} \pause \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \pause \quad \Longleftrightarrow \quad xx'+yy'=0$$ \pause
\textsc{Preuve} \pause \\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points vérifiant : \pause
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ \pause et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$. \pause Alors, on a d'après Chasles : \pause
\begin{pspicture}(0,0)(8,2)

\psline{->}(2.75,1.5)(2.5,0.75)
\uput[90](2.4,0.9){$\overrightarrow{u}$} \pause
\psline{->}(2.5,0.75)(4,0.25)
\uput[-90](3.15,0.6){$\overrightarrow{v}$} \pause
\uput[90](2.75,1.4){$A$}
\uput[-135](2.6,0.85){$B$}
\uput[0](3.9,0.25){$C$} \pause
\psline{->}(2.75,1.5)(4,0.25) \pause
\uput[0](5.5,1){$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$} \pause
\end{pspicture}
\\
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux \pause si et seulement si \pause
le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, \pause ce qui d'après le théorème de Pythagore équivaut à : \pause
$$AC^2 -(AB^2+BC^2)=0 \pause \quad \textrm{soit} \quad  || \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} ||^2 \pause -(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2) \pause=0$$ \pause
Or cette dernière quantité vaut : \pause $2(xx'+yy') \pause =2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, \pause d'où le résultat.\\
\end{frame}


\begin{frame}{A.4 Autre expression du produit scalaire}
\pause \textsc{Remarque préliminaire} \pause \\
Lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont \textit{colinéaires}, \pause il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ \pause tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}$ \pause et donc : \pause
\begin{equation*}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause =(\lambda \overrightarrow{v}).\overrightarrow{v} \pause =\lambda ||\overrightarrow{v}||^2 \pause =\lambda ||\overrightarrow{v}||\times||\overrightarrow{v}|| \pause =
\begin{cases}
\pause \; || \overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \pause &\textrm{si $\lambda \geq 0$} \pause \\
-||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \pause &\textrm{si $\lambda<0$} \pause
\end{cases}
\end{equation*}
Faisons la remarque suivante: \pause \\
Si $\lambda\geq 0$ \pause alors $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \pause =\cos(0) \pause =1$. \pause \\
Si $\lambda<0$ \pause alors $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \pause =\cos(\pi) \pause =-1$. \pause\\
Ainsi: \pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause =||\overrightarrow{u}|| \pause \times \pause ||\overrightarrow{v}|| \pause \times \pause \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \quad \pause $$
Cette relation peut être généralisée \pause à des vecteurs non colinéaires comme suit :\pause \\
\quad \\
\noindent \textsc{Théorème} \pause\\
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls. \pause On a: \pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause =||\overrightarrow{u}|| \pause \times ||\overrightarrow{v}|| \pause \times \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$$
\end{frame}

\begin{frame}
\pause \textsc{Preuve} \pause\\
Soit $(\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath})$ \pause une base orthonormée directe \pause de sorte que : \pause $$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{\imath} \qquad \pause \text{et} \pause \qquad  \overrightarrow{v}=b\overrightarrow{\imath}+c\overrightarrow{\jmath}$$ \pause
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.45)(6,2)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.25,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.5pt](0,-0.25)(0,2)
\pause
\psline{->}(0,0)(5,0)
\uput[-90](2.5,0.1){$\overrightarrow{u}(a\,;0)$}
\pause
\psline{->}(0,0)(1.7,1.5)
\uput[90](0.5,0.75){$\overrightarrow{v}(b\,;c)$}
\pause
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.5)
\pspolygon[linewidth=0.5pt](1.7,0)(1.55,0)(1.55,0.15)(1.7,0.15)
\end{pspicture}
\end{center}
\pause Pour simplifier, \pause on se limite au cas où $a$, $b$ et $c$ sont positifs, on a alors : \pause
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \pause =a\overrightarrow{\imath}.(b\overrightarrow{\imath}+c\overrightarrow{\jmath}) \pause =ab\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\imath}+ac\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\jmath} \pause =ab$$ \pause
Les formules de trigonométrie montrent que : \pause
$\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \pause =\dfrac{b}{||\overrightarrow{v}||}$. \pause\\
On en déduit: \pause
$$||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \pause =a \pause \times \pause ||\overrightarrow{v}|| \pause \times \pause \frac{b}{||\overrightarrow{v}||} \pause = ab \pause =\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$$ \pause
\textsc{Conséquence} \pause\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts, \pause alors : \pause
$$\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AC} =||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$$
\end{frame}

\begin{frame}{A.5 Projection orthogonale}
\pause \textsc{Théorème} \pause\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts, \pause on désigne par $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ \pause càd l'unique point de $(AB)$ \pause vérifiant \pause $(CH)\perp (AB)$, \pause alors on a : \pause
$$\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AC} \pause =\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AH}$$ \pause
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(10,3)
\psline{->}(1,1)(3,1)
\psline{->}(1,1)(0.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](1,1)(0.5,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.5,1)(0.5,2.5)
\uput[-90](1,1){$A$}
\uput[-90](3,1){$B$}
\uput[-90](0.5,1){$H$}
\pspolygon[linewidth=0.5pt](0.5,1)(0.65,1)(0.65,1.15)(0.5,1.15)
\uput[90](0.5,2.5){$C$}
\pause
\psline{->}(4,1)(6,1)
\psline{->}(4,1)(5.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](5.5,1)(5.5,2.5)
\uput[-90](4,1){$A$}
\uput[-90](6,1){$B$}
\uput[-90](5.5,1){$H$}
\pspolygon[linewidth=0.5pt](5.5,1)(5.35,1)(5.35,1.15)(5.5,1.15)
\uput[90](5.5,2.5){$C$}
\pause
\psline{->}(7,1)(9,1)
\psline{->}(7,1)(9.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](9,1)(9.5,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](9.5,1)(9.5,2.5)
\uput[-90](7,1){$A$}
\uput[-90](9,1){$B$}
\uput[-90](9.5,1){$H$}
\pspolygon[linewidth=0.5pt](9.5,1)(9.35,1)(9.35,1.15)(9.5,1.15)
\uput[90](9.5,2.5){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\pause
\textsc{Preuve} \pause \\
Remarquons que les droites $(AB)$ et $(HC)$ sont perpendiculaires \pause donc $\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{HC}=0$. \pause \\
Ainsi on a : \pause
$$\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AC} \pause =\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}) \pause =
\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AH} \pause +\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{HC} \pause =\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AH}+0 \pause =
\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AH}$$
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\Large{B. Applications du produit scalaire}
\end{center}
\end{frame} 
\section{B. Applications du produit scalaire}

\begin{frame}{B.1 Théorèmes de la médiane}
\pause \noindent \textsc{Théorème}\\\pause
Soient $A$ et $B$ deux points distincts \pause et $I$ le milieu de $[AB]$, \pause alors pour tout point $M$, \pause  on a :\pause
$$MA^2+MB^2 =2MI^2+\frac{1}{2}AB^2 \pause \qquad MA^2-MB^2 =2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{BA} \pause \qquad \overrightarrow{MA}.\,\overrightarrow{MB} =MI^2-IA^2$$ \pause
\textsc{Preuve}\\ \pause
Remarquons que  :\pause
\begin{eqnarray*}
MA^2+MB^2\pause &=&(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\\
\pause &=&MI^2+2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{IA}+IA^2+MI^2+2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{IB}+IB^2\\
\pause &=&2MI^2+2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+2\left(\frac{1}{2}AB\right)^2\\
\pause &=&2MI^2+\frac{1}{2}AB^2\\ \pause
MA^2-MB^2\pause &=&(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\\
\pause &=&MI^2+2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{IA}+IA^2-(MI^2+2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{IB}+IB^2)\\
\pause &=&2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB})\\
\pause &=&2\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{BA}
\end{eqnarray*}\pause
$$\overrightarrow{MA}.\,\overrightarrow{MB}\pause =(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})
\pause =(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})\pause =MI^2-IA^2
$$
\end{frame}

\begin{frame}
\pause \textsc{Exemples}\\\pause
Soit $ABC$ un triangle vérifiant : \pause $AB=6$, \pause $AC=3$ \pause et $BC=4$. \pause On appelle $I$ le milieu de $[AB]$.\pause\\
Calculer $CI$ \pause puis déterminer les ensembles $\mathscr{E}$, \pause $\mathscr{F}$ \pause et $\mathscr{G}$ \pause des points vérifiant :\pause $$MA^2+MB^2=25 \pause \qquad MA^2-MB^2=12 \pause \qquad \overrightarrow{MA}.\,\overrightarrow{MB}=0$$ \pause
1) D'après le théorème de la médiane, \pause
$$2CI^2+\frac{1}{2}AB^2 \pause =CA^2+CB^2 \pause \Longrightarrow \pause 2CI^2+\frac{6^2}{2} \pause =3^2+4^2 \pause \Longrightarrow \pause CI^2=\frac{7}{2}\pause \Longrightarrow \pause CI=\frac{\sqrt{14}}{2}\pause$$
2) On a aussi :\pause
$$MA^2+MB^2=25 \pause \Longleftrightarrow \pause 2MI^2+\frac{1}{2}AB^2  = 25 \pause \Longleftrightarrow \pause MI^2= \frac{7}{2}\pause \Longleftrightarrow \pause IM=\frac{\sqrt{14}}{2}$$\pause
$\mathscr{E}$ \pause est donc le cercle de centre $I$ \pause et passant par $C$.\pause

$$MA^2-MB^2=12 \pause \Longleftrightarrow \pause 2\,\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{BA} =  12 \pause \Longleftrightarrow \pause \overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{BA}=6\quad (*)$$\pause
Soit $J$ le (seul) point de la droite $(AB)$ \pause vérifiant $(*)$,  \pause on a donc \pause $JI\times 6 \pause =6\Longrightarrow JI \pause =1$.\pause\\
Tous les points $M$ de la droite $d$ \pause perpendiculaire à $(AB)$ \pause passant par $J$ \pause vérifient : \pause
$$\overrightarrow{MI}.\,\overrightarrow{BA} \pause =\overrightarrow{JI}.\,\overrightarrow{BA} \pause =6$$ \pause
L'ensemble $\mathscr{F}$\pause  est donc la droite $d$.
\end{frame}

\begin{frame}
\pause Pour le troisième ensemble, \pause on remarque que :\pause
$$\overrightarrow{MA}.\,\overrightarrow{MB}=0 \pause \Longleftrightarrow \pause MI^2-IA^2=0 \pause \Longleftrightarrow \pause IM=IA$$ \pause
Ainsi, \pause $\mathscr{G}$ est le cercle de centre $I$ \pause et passant par $A$ \pause ce que l'on peut retrouver \pause en remarquant qu'un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ \pause ssi \pause $(MA)\perp(MB)$ \pause soit $\overrightarrow{MA}. \,\overrightarrow{MB}=0$.\\ \pause
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(3,3.5)
\psdot(-3,0) \psdot(3,0) \psdot(0,0) \psdot(1,0) \psdot(-0.58,1.77)
\pspolygon(-3,0)(3,0)(-0.58,1.77)
\uput[-45](-3,0){$A$}
\uput[-135](3,0){$B$}
\uput[90](-0.58,1.77){$C$}
\uput[-90](0,0){$I$}
\pause
\uput[-90](0,-1.8){$\textcolor{red}{\mathscr{E}}$}
\pscircle[linecolor=red,linestyle=dashed](0,0){1.5}
\pause
\uput[-45](1,0){$J$}
\uput[-90](1.3,2.2){$\textcolor{green!50!black}{\mathscr{F}}$}
\psline[linecolor=green!50!black](1,-3.5)(1,3.5)
\pause
\uput[-90](-2.5,2.5){$\textcolor{blue}{\mathscr{G}}$}
\pscircle[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,0){2.4}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}{B.2 Théorème d'Al Kashi}
\pause \noindent Nous savons d'après Pythagore \pause que si $ABC$ est un triangle \textit{rectangle} en $A$ \pause et en notant \\ $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$, \pause on a : \pause
$$a^2=b^2+c^2$$ \pause
Le théorème d'Al Kashi \pause \textit{généralise} ces formules \pause dans le cas de triangles \textit{quelconques}. \pause\\
\textsc{Théorème}\\ \pause
Soit $ABC$ un triangle, \pause posons $a=BC$, \pause $b=AC$ \pause et $c=AB$, \pause alors on a :\pause
$$a^2=\pause b^2+c^2 \pause -2bc\cos(\widehat{A})$$ \pause
En permutant les lettres, \pause on obtient également :\pause
$$b^2 =\pause a^2+c^2-2ac\cos(\widehat{B}) \pause \qquad \qquad c^2 =\pause a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})$$\pause
\textsc{Preuve}\\\pause
Il suffit de remarquer :\pause 
\begin{eqnarray*}
a^2\pause&=&\overrightarrow{BC}^2\\ \pause
&=&\pause(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\\ \pause
&=& \pause AC^2-2\overrightarrow{AC}.\,\overrightarrow{AB}+AB^2\\ \pause
&=& \pause b^2+c^2-2\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AC}\\ \pause
&=& \pause b^2+c^2-2bc\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) 
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}
\pause
\textsc{Exemples}\\ \pause
1) Soit $ABC$ un triangle \pause tel que $AB=2$, \pause $BC=3$ \pause et $AC=4$, \pause déterminer l'angle $\widehat{A}$.\pause \\
On sait que :\pause
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}) \pause \Longrightarrow \pause \cos(\widehat{A})= \pause \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}= \pause \frac{4^2+2^2-3^2}{2\times 4\times 2}= \pause \frac{11}{16}$$ \pause
On en déduit : \pause
$$\widehat{A} =\pause \arccos \left(\frac{11}{16}\right) \pause \approx 46,6^{\circ}$$ \pause
2) Soit $ABC$ un triangle \pause tel que $AB=3$, $AC=4$ et $\widehat{C}=30^{\circ}$. \pause Calculer $BC$. \pause\\
On a d'abord :\pause
$$AB^2=BC^2+AC^2-2\times AC \times BC \times \cos(\widehat{C}) \pause \Longrightarrow \pause 3^2=BC^2+4^2-2\times BC\times 4\times\frac{\sqrt{3}}{2} 
$$\pause
La longueur $BC$ est donc solution de l'équation :\pause
$$x^2-4x\sqrt{3}+7=0$$\pause
Le discriminant de cette équation est $b^2-4ac=48-28=20$. \pause On a donc :\pause
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\pause =\frac{4\sqrt{3}\pm 2\sqrt{5}}{2} \pause =2\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$$\pause
On a donc deux triangles possibles.
\end{frame}'''

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