import math, numpy as np                         # para usar expressões matemáticas

from matplotlib import pyplot as plt             # para fazer gráficos 

def f(u):                                        # Função f(u) para testarmos os métodos . 
    p=np.cos(np.sqrt(1+u**2)*np.log(2))
    return p

def df(u):                                       # Derivada analítica de f(u).
    p=-np.sin(np.sqrt(1+u**2)*np.log(2))*u*np.log(2)/(np.sqrt(1+u**2)) 
    return p
    
def ndf(u,h):                                    # Derivada numérica de f(u). 
    p=(f(u+h)-f(u))/h                            # Usando polinomio de Taylor de ordem 1.
    return p
    
def n2df(u,h):                                  # Derivada numérica de f(u). 
    p=(f(u+h)-f(u-h))/(2*h)                     # Usando polinomio de Taylor de ordem 2.
    return p
    
def d2f(u):                                     # Segunda derivada analítica de f(u).
    p=-np.cos(np.sqrt(1+u**2)*np.log(2))*(u*np.log(2))**2/(1+u**2)-np.sin(np.sqrt(1+u**2)*np.log(2))*np.log(2)*(np.sqrt(1+u**2)-u**2/(np.sqrt(1+u**2)))/(1+u**2) # Derivada analítica de f(u).
    return p

def nd2f(u,h):                                 # Segunda derivada numérica de f(u). 
    p=(f(u+h)-2*f(u)+f(u-h))/(h**2)            # Usando polinomio de Taylor de ordem 2.
    return p
    
# # Gráficos para compararção da derivada e aproximações
x=np.linspace(0,2,1000)
y=ndf(x,10**(-1))
z=df(x)
w=n2df(x,10**(-1))

plt.plot(x,z,color='red',label='df(x)')                       
plt.plot(x,y,color='blue',label='ordem 1')
plt.plot(x,w,color='green',label='ordem 2')
plt.ylabel('y')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.title('Aproximação de df(x) pelo método de Taylor de ordens 1 e 2')
plt.show()
plt.close()

plt.plot(x,z-y,color='red',label='df(x)-ordem 1')                       
plt.plot(x,z-w,color='blue',label='df(x)-ordem 2')
plt.ylabel('y')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.title('Erro na aproximação de df(x) pelo método de Taylor de ordens 1 e 2')
plt.show()
plt.close()

# # Gráficos para compararção da derivada segunda e aproximações
z=d2f(x)
w=nd2f(x,10**(-1))

plt.plot(x,z,color='blue',label='d2f(x)')
plt.plot(x,w,color='green',label='ordem 2')
plt.ylabel('y')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.title('Aproximação de d2f(x) pelo método de Taylor de ordem 2')
plt.show()
plt.close()

plt.plot(x,z-w,color='red',label='df(x)-ordem 2') 
plt.ylabel('y')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.title('Erro na aproximação de d2f(x) pelo método de Taylor de ordem 2')
plt.show()
plt.close()