import math                          # para usar expressões matemáticas

import matplotlib.pyplot as plt # para fazer gráficos 

# Um exemplo
def df(u):  # Definição de f(u)=u
    p=u
    return p
a=0
b=1   
t = []
u = []
n=10
h=(b-a)/n
t.append(0)
u.append(1)
for i in range(1,n+1):  
    t.append(i*h)               
    u.append(u[i-1]+h*df(u[i-1])+df(u[i-1])*(h**2)/2)
    
print('u_i=',u[i])
           
    
plt.plot(t, u,'o')       # gráfico de linha
plt.show()           # mostra o gráfico

import numpy as np
# Teste de aproximação 
def f(u):  # Definição de f(u)=u
    p=np.exp(u)
    return p
 
s=np.linspace(a,b,num=100+1)
z=f(s) 
    
plt.plot(t, u)       # gráfico da aproximação de f(s)
plt.plot(s, f(s),color='red')       # gráfico de f(s)=exp(s)
plt.show()           # mostra o gráfico